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La développée ( Γ ) d'une courbe (C), introduite par Huygens , est l'enveloppe de ses normales (les perpendiculaires à ses tangentes) : en chaque point de ( Γ ), il existe une normale (n) à (C) tangente à ( Γ ) et toute normale (n) de (C) est une tangente à ( Γ ) :

Lorsqu'une courbe est définie en coordonnées paramétriques x = x(t) et y = y(t), l'équation de la développée se calcule facilement. Selon un résultat général , l'équation cherchée sera obtenue en résolvant le système constitué de l'équation générale des normales et de son équation dérivée par rapport à t.

On pose x' = dx/dt, y' = dy/dt. Soit M(X,Y) un point de la normale (n) à (C). Une tangente (t) à (C) a pour coefficient directeur y'/x'; par suite, celui de la normale (n) est -x'/y' et son équation est définie par Y - y = -x'/y'(X - x), ce qui peut s'écrire :

Dérivons par rapport à t et posons x" = dx'/dt , y" = dy'/dt :

Ordonnons le système obtenu par les deux équations ci-dessus :

Posons d = x'y" - x"y' et n 2 = x' 2 + y' 2 . On obtient sans difficultés l'équation générale de la développée d'une courbe plane :

Ci-dessus, la développée (en rouge) de l' ellipse (en bleu) d'équation x 2 /4 + y 2 = 1. Une tangente à l'ellipse est représentée en vert avec la normale correspondante, tangente à la développée.

soit, en coordonnées paramétriques :

On montrera aisément que la développée a pour équation :

X = 1,5cos 3 t , Y = -3sin 3 t

par symétrie, la développée a aussi pour équation :

X = 1,5cos 3 t , Y = 3sin 3 t

Sous cette forme plus agréable, vu que cos 2 t + sin 2 t = 1, on peut écrire :

La développée de l'ellipse est donc une courbe de Lamé . Il en est de même de la développée de l'hyperbole , plus difficile d'étude, mais que l'on obtient, avec calme et patience, par un petit artifice d'analyse.

Plus généralement, on montrera relativement facilement que si l'équation de l'ellipse est donnée sous sa forme centrée réduite , x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, l'équation de sa développée est :

Je suis absente jusqu'au 16 juillet. Vous pouvez déposer vos commentaires. Je les lirai et les publierai à mon retour. Sophie

Sophie , animatrice des communautés en ligne RER A

Un espace pour découvrir, s’informer, et échanger autour des actualités et coulisses de votre ligne.

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Mot-clé : Modernisation

La ligne et vous

11 06 2018

Relisez les échanges avec Lucile Quessart , Directrice des lignes L,A,J (SNCF), et Jean Michel Sence, directeur de la ligne A (RATP)

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31 05 2018

Cet été, des interruptions de trafic sont à prévoir sur la ligne,avec la fermeture totale du RER A entre La Défense et Nation du 28 juillet au 26 août inclus, dans le cadre des travaux de renouvellement des voies et du ballast, ainsi que d’importants travaux sur les branches Cergy et Poissy.

Pour que vous disposiez de l’ensemble des informations sur les travaux de l’été, et afin de vous organiser au mieux, je vous propose, ici, un récapitulatif complet. Évidemment, je complèterai les informations que vous y trouvez, au fil de l’été.

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22 05 2018

Découvrir

Depuis la création de ce blog en novembre 2016, j’ai évoqué à plusieurs reprises le « Schéma Directeur de la Ligne A», parfois également désigné par l’acronyme «SDLA». Il définit les investissements indispensables pour moderniser et améliorer le fonctionnement de la ligne sur la période 2012 à l’horizon 2022. Toutefois, certains d’entre vous m’ont demandé un peu plus de détails sur le sujet: de quels projets s’agit-il précisément? Et dans quel cadre ce «SDLA» est-il mis en œuvre?

Pour vous répondre, j’ai rencontré Ivan Tixier, référent pour les projets de transport du schéma directeur de la ligne A, à la RATP.

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16 05 2018

Saviez-vous qu’un voyageur émet 50 fois moins de gaz à effet de serre en RER, qu’en voiture? Le fonctionnement et le développement du réseau ferré en Ile-de-France constitue un levier majeur pour réduire notre consommation d’énergie. De fait, la SNCF comme la RATP sont fortement engagées en matière de transition énergétique, à travers des mesures concrètes pour réduire leur consommation et leur émission de gaz à effet de serre.

Sur la ligne A, la maintenance des trains prend bien en comptecette nécessité de gestion responsable de l’énergie. Pour vous en parler, j’ai rencontré Christiane Tessa Kouemo, ingénieure et responsable «qualité, environnement et sécurité de l’unité de maintenance du RER». Entretien.

Sur la ligne A, la maintenance des trains prend bien en comptecette nécessité de gestion responsable de l’énergie.
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